ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y FACTORIZACIÓN
Ecuaciones de segundo grado. Se denominan así porque el exponente de la variable está elevado a la segunda potencia, al cuadrado.
Para su estudio las cuadráticas se dividen en 3 grupos o formas:
a) Cuadrática pura o de la forma x2 + c = 0
Las ecuaciones de esta forma se resuelven despejando la variable (como si fuera una ecuación lineal) y se obtienen 2 resultados iguales pero con signo distinto.
Ejemplo:
x2 – 16= 0
x2=0+16
x = +/- raíz cuadrada de 16
x1= +4
x2= -4
b) Cuadrática mixta incompleta o de la forma x2+ b = 0
Éstas se resuelven por factorización (se busca el factor común a todos los términos; tanto la variable y su exponente como también los coeficientes, los número, pues) y se obtienen 2 resultados; uno de ellos siempre es igual a cero.
Ejemplo:
Ecuaciones de segundo grado. Se denominan así porque el exponente de la variable está elevado a la segunda potencia, al cuadrado.
Para su estudio las cuadráticas se dividen en 3 grupos o formas:
a) Cuadrática pura o de la forma x2 + c = 0
Las ecuaciones de esta forma se resuelven despejando la variable (como si fuera una ecuación lineal) y se obtienen 2 resultados iguales pero con signo distinto.
Ejemplo:
x2 – 16= 0
x2=0+16
x = +/- raíz cuadrada de 16
x1= +4
x2= -4
b) Cuadrática mixta incompleta o de la forma x2+ b = 0
Éstas se resuelven por factorización (se busca el factor común a todos los términos; tanto la variable y su exponente como también los coeficientes, los número, pues) y se obtienen 2 resultados; uno de ellos siempre es igual a cero.
Ejemplo:
11 x2+121 x = 0 Se obtiene factor común; en este caso 11 y x:
11x ( x + 11) = 0 ambas partes de la ecuación se igualan a cero:
11x= 0 y x + 11= 0 y de manera automática se obtienen los 2 valores de la ecuación:
al despejar x de la primera ecuación queda: x = 0/11; x 1= 0.
De la ecuación dos despejamos x también: x = 0 – 11; x2 = -11.
11x ( x + 11) = 0 ambas partes de la ecuación se igualan a cero:
11x= 0 y x + 11= 0 y de manera automática se obtienen los 2 valores de la ecuación:
al despejar x de la primera ecuación queda: x = 0/11; x 1= 0.
De la ecuación dos despejamos x también: x = 0 – 11; x2 = -11.
c) Cuadrática canónica o de la forma a x2+ bx + c = 0
Para encontrar las raíces solución a una cuadrática canónica se utiliza la fórmula general.
X= +/- b raíz b2 – 4ac / 2a
OTRAS formas de ecuaciones de segundo grado son los PRODUCTOS NOTABLES.
1. BINOMIO AL CUADRADO.
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
el cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
Ejemplo:
(m + 7) 2 = (m)2 + 2(m)(7) + (7)2 = m2 + 14m + 49
El binomio al cuadrado da un trinomio cuadrado perfecto (TCP)
2. BINOMIOS CONJUGADOS
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El cuadrado de cada uno de los términos del binomio enlazados por el signo de menos.
Ejemplo:
(u + 9) (u- 9) = (u)2 – (9)2 = u2 – 81.
El producto de dos binomios conjugados da una diferencia de cuadrados.
3. BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
El cuadrado del término común, más el producto de la suma algebraica de los No comunes por el común, más el producto de los dos No comunes. Ejemplo:
(m + 6) (m – 9) = (m)2 + (+6-9) (m) + (+6)(-9) = m2 – 3m – 54.
NOTA: cuidado al multiplicar los signos. El resultado de este producto de binomios da un trinomio NO cuadrado perfecto.
TODO lo anterior es importante dominarlo porque la factorización es el proceso “contrario” al de multiplicar (producto), de manera que si uno identifica qué producto se obtiene de cada proceso será sencillo conocer qué tipo de estructura nos quedará una vez factorizado el trinomio o binomio.
FACTORIZACIÓN
1. De término común:
Se busca que exista un término común a todos los miembros del polinomio; sea la variable, el coeficiente o ambos. El término que se factoriza siempre es aquel que posee el exponente de menor valor.
2. De un TCP:
Se saca raíz cuadrada al primer y tercer término (si no tienen los dos no es posible factorizar por este método) y se escriben después del igual dentro de un paréntesis, el signo que enlazará a estos términos es aquel que posea el segundo término del trinomio y se eleva al cuadrado. Ver Binomio al cuadrado.
x2+ 6x + 9 = (x +3)2
3. De una diferencia de cuadrados.
Se saca raíz cuadrada cada uno de los términos y se escriben por separado en dos pares de paréntesis enlazando los términos con un signo + y – respectivamente. Ver binomios conjugados.. Ejemplo:
25m2 – 64 = (5m + 8) (5m – 8)
4. De un trinomio no cuadrado perfecto.
Si se intenta obtener raíz cuadrada a ambos extremos del trinomio y descubrimos que sólo tiene raíz cuadrada exacta el primer término, entonces se trata de un trinomio cuadrado no perfecto y debemos factorizar así: se obtiene la raíz cuadrado del término común; luego se buscan 2 número cuya suma algebraica (es decir, que ambos números pueden ser positivos, negativos o positivo y negativo o negativo y positivo) nos dé el valor del segundo término del trinomio a factorizar y el producto de estos 2 mismo números (incluyendo su signo) nos dé el valor del tercer término. NOTA: si no te sabes las tablas de multiplicar ni sumar números con signos te será más difícil resolver este tipo de factorizaciones. Ejemplo:
x2+ 4x – 12 = (x + ?) ( x +?)
Hay que buscar dos número que sumados nos den 4: 2+2= 4 pero al multiplicar 2*2 da 4 y queremos que nos de –12.
Otro par es 6-2 = 4 y al multiplicar 6 * -2 da –12. Por lo que esos número factorizan nuestro trinomio y queda así.
(x + 6) (x – 2) si haces esta multiplicación te dará el valor del trinomio factorizado. Si no, es que está incorrecta la factorización.
NOTA: en todos los casos hay que multiplicar (comprobar) para asegurarse de que se ha realizado correctamente el proceso.
Para encontrar las raíces solución a una cuadrática canónica se utiliza la fórmula general.
X= +/- b raíz b2 – 4ac / 2a
OTRAS formas de ecuaciones de segundo grado son los PRODUCTOS NOTABLES.
1. BINOMIO AL CUADRADO.
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
el cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
Ejemplo:
(m + 7) 2 = (m)2 + 2(m)(7) + (7)2 = m2 + 14m + 49
El binomio al cuadrado da un trinomio cuadrado perfecto (TCP)
2. BINOMIOS CONJUGADOS
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El cuadrado de cada uno de los términos del binomio enlazados por el signo de menos.
Ejemplo:
(u + 9) (u- 9) = (u)2 – (9)2 = u2 – 81.
El producto de dos binomios conjugados da una diferencia de cuadrados.
3. BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
El cuadrado del término común, más el producto de la suma algebraica de los No comunes por el común, más el producto de los dos No comunes. Ejemplo:
(m + 6) (m – 9) = (m)2 + (+6-9) (m) + (+6)(-9) = m2 – 3m – 54.
NOTA: cuidado al multiplicar los signos. El resultado de este producto de binomios da un trinomio NO cuadrado perfecto.
TODO lo anterior es importante dominarlo porque la factorización es el proceso “contrario” al de multiplicar (producto), de manera que si uno identifica qué producto se obtiene de cada proceso será sencillo conocer qué tipo de estructura nos quedará una vez factorizado el trinomio o binomio.
FACTORIZACIÓN
1. De término común:
Se busca que exista un término común a todos los miembros del polinomio; sea la variable, el coeficiente o ambos. El término que se factoriza siempre es aquel que posee el exponente de menor valor.
2. De un TCP:
Se saca raíz cuadrada al primer y tercer término (si no tienen los dos no es posible factorizar por este método) y se escriben después del igual dentro de un paréntesis, el signo que enlazará a estos términos es aquel que posea el segundo término del trinomio y se eleva al cuadrado. Ver Binomio al cuadrado.
x2+ 6x + 9 = (x +3)2
3. De una diferencia de cuadrados.
Se saca raíz cuadrada cada uno de los términos y se escriben por separado en dos pares de paréntesis enlazando los términos con un signo + y – respectivamente. Ver binomios conjugados.. Ejemplo:
25m2 – 64 = (5m + 8) (5m – 8)
4. De un trinomio no cuadrado perfecto.
Si se intenta obtener raíz cuadrada a ambos extremos del trinomio y descubrimos que sólo tiene raíz cuadrada exacta el primer término, entonces se trata de un trinomio cuadrado no perfecto y debemos factorizar así: se obtiene la raíz cuadrado del término común; luego se buscan 2 número cuya suma algebraica (es decir, que ambos números pueden ser positivos, negativos o positivo y negativo o negativo y positivo) nos dé el valor del segundo término del trinomio a factorizar y el producto de estos 2 mismo números (incluyendo su signo) nos dé el valor del tercer término. NOTA: si no te sabes las tablas de multiplicar ni sumar números con signos te será más difícil resolver este tipo de factorizaciones. Ejemplo:
x2+ 4x – 12 = (x + ?) ( x +?)
Hay que buscar dos número que sumados nos den 4: 2+2= 4 pero al multiplicar 2*2 da 4 y queremos que nos de –12.
Otro par es 6-2 = 4 y al multiplicar 6 * -2 da –12. Por lo que esos número factorizan nuestro trinomio y queda así.
(x + 6) (x – 2) si haces esta multiplicación te dará el valor del trinomio factorizado. Si no, es que está incorrecta la factorización.
NOTA: en todos los casos hay que multiplicar (comprobar) para asegurarse de que se ha realizado correctamente el proceso.
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