SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Eliminación de una incógnita

Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos.Los métodos de eliminación son:1º. Por adición o sustracción (reducción), 2º. Por igualación.3º. Por sustitución.

1º. Eliminación por adición o sustracción ( reducción):

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta:

a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.

b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo.

c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene.

d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.

Ejemplo: Sea resolver el sistema:x - 3y = 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . (1), 2x + y = -10. . . . . . . . .......(2)

Solución:Multiplíquese ambos miembros de (1) por 2, se obtiene: 2x - 6y = 18 . . . . . . . . . . . . (3) Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x":-7y = 28 , se obtiene: y = -4. Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x": x - 3y = 9x - 3(-4) = 9x + 12 = 9x = -3; por tanto:

x = -3; y = -4.

2º. Eliminación por igualación:

a) Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar.

b) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada.

c) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.

d) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:x + 2y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),4x - y = 7 . . . . . . . . . . .(2)Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2); se tiene:x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) ,x = (7 + y) / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).

Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x":22 - 2y = (7 + y) / 4Dése forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuélvase:88 - 8y = 7 + y-9y = -81y = 9Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y":x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3),

x = 22 - 2(9)x = 4por tanto: x = 4; y = 9.

3º. Eliminación por sustitución:

a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones.

b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación.

c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada.

d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:3x + y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),4x - 3y = -1 . . . . . . . . . ...(2)Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1):3x = 22 - yx = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . .(3)Sustitúyase (3) en (2):4 [(22 - y) / 3] - 3y = -14 (22 - y) - 9y = -388 - 4y - 9y = -3-13y = -91y = 7.Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y".x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3).

x = (22 - 7) / 3x = 5 por tanto: x = 5; y = 7.

Observaciones:

1ª Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de adición, escójanse números tales que multiplicados por los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, den como producto el m.c.m. de dichos coeficientes.

2ª En el método de sustitución, despéjese la incógnita que tenga menor coeficiente.

3ª En la resolución de un sistema dado, puede usarse indistintamente uno cualquiera de los tres métodos estudiados, y cada uno tiene sus ventajas según los casos particulares.Sin embargo, como los últimos procedimientos introducen, por lo general, expresiones fraccionarias, se usa con preferencia el método por adicción o sustracción, por ser el más sencillo.

Tomado de http://www.student_star.galeon.com/ecuacio.html

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y FACTORIZACIÓN

Ecuaciones de segundo grado. Se denominan así porque el exponente de la variable está elevado a la segunda potencia, al cuadrado.
Para su estudio las cuadráticas se dividen en 3 grupos o formas:

a) Cuadrática pura o de la forma x2 + c = 0

Las ecuaciones de esta forma se resuelven despejando la variable (como si fuera una ecuación lineal) y se obtienen 2 resultados iguales pero con signo distinto.

Ejemplo:
x2 – 16= 0
x2=0+16
x = +/- raíz cuadrada de 16
x1= +4
x2= -4

b) Cuadrática mixta incompleta o de la forma x2+ b = 0

Éstas se resuelven por factorización (se busca el factor común a todos los términos; tanto la variable y su exponente como también los coeficientes, los número, pues) y se obtienen 2 resultados; uno de ellos siempre es igual a cero.

Ejemplo:

11 x2+121 x = 0 Se obtiene factor común; en este caso 11 y x:
11x ( x + 11) = 0 ambas partes de la ecuación se igualan a cero:
11x= 0 y x + 11= 0 y de manera automática se obtienen los 2 valores de la ecuación:
al despejar x de la primera ecuación queda: x = 0/11; x 1= 0.
De la ecuación dos despejamos x también: x = 0 – 11; x2 = -11.

c) Cuadrática canónica o de la forma a x2+ bx + c = 0

Para encontrar las raíces solución a una cuadrática canónica se utiliza la fórmula general.

X= +/- b raíz b2 – 4ac / 2a

OTRAS formas de ecuaciones de segundo grado son los PRODUCTOS NOTABLES.

1. BINOMIO AL CUADRADO.

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
el cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplo:
(m + 7) 2 = (m)2 + 2(m)(7) + (7)2 = m2 + 14m + 49
El binomio al cuadrado da un trinomio cuadrado perfecto (TCP)

2. BINOMIOS CONJUGADOS

(a + b) (a – b) = a2 – b2
El cuadrado de cada uno de los términos del binomio enlazados por el signo de menos.

Ejemplo:
(u + 9) (u- 9) = (u)2 – (9)2 = u2 – 81.
El producto de dos binomios conjugados da una diferencia de cuadrados.

3. BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

El cuadrado del término común, más el producto de la suma algebraica de los No comunes por el común, más el producto de los dos No comunes. Ejemplo:
(m + 6) (m – 9) = (m)2 + (+6-9) (m) + (+6)(-9) = m2 – 3m – 54.

NOTA: cuidado al multiplicar los signos. El resultado de este producto de binomios da un trinomio NO cuadrado perfecto.
TODO lo anterior es importante dominarlo porque la factorización es el proceso “contrario” al de multiplicar (producto), de manera que si uno identifica qué producto se obtiene de cada proceso será sencillo conocer qué tipo de estructura nos quedará una vez factorizado el trinomio o binomio.

FACTORIZACIÓN

1. De término común:
Se busca que exista un término común a todos los miembros del polinomio; sea la variable, el coeficiente o ambos. El término que se factoriza siempre es aquel que posee el exponente de menor valor.

2. De un TCP:
Se saca raíz cuadrada al primer y tercer término (si no tienen los dos no es posible factorizar por este método) y se escriben después del igual dentro de un paréntesis, el signo que enlazará a estos términos es aquel que posea el segundo término del trinomio y se eleva al cuadrado. Ver Binomio al cuadrado.
x2+ 6x + 9 = (x +3)2

3. De una diferencia de cuadrados.
Se saca raíz cuadrada cada uno de los términos y se escriben por separado en dos pares de paréntesis enlazando los términos con un signo + y – respectivamente. Ver binomios conjugados.. Ejemplo:
25m2 – 64 = (5m + 8) (5m – 8)

4. De un trinomio no cuadrado perfecto.
Si se intenta obtener raíz cuadrada a ambos extremos del trinomio y descubrimos que sólo tiene raíz cuadrada exacta el primer término, entonces se trata de un trinomio cuadrado no perfecto y debemos factorizar así: se obtiene la raíz cuadrado del término común; luego se buscan 2 número cuya suma algebraica (es decir, que ambos números pueden ser positivos, negativos o positivo y negativo o negativo y positivo) nos dé el valor del segundo término del trinomio a factorizar y el producto de estos 2 mismo números (incluyendo su signo) nos dé el valor del tercer término. NOTA: si no te sabes las tablas de multiplicar ni sumar números con signos te será más difícil resolver este tipo de factorizaciones. Ejemplo:
x2+ 4x – 12 = (x + ?) ( x +?)
Hay que buscar dos número que sumados nos den 4: 2+2= 4 pero al multiplicar 2*2 da 4 y queremos que nos de –12.
Otro par es 6-2 = 4 y al multiplicar 6 * -2 da –12. Por lo que esos número factorizan nuestro trinomio y queda así.
(x + 6) (x – 2) si haces esta multiplicación te dará el valor del trinomio factorizado. Si no, es que está incorrecta la factorización.
NOTA: en todos los casos hay que multiplicar (comprobar) para asegurarse de que se ha realizado correctamente el proceso.